請問公路車換刀輪適合嗎?? - 公路車

這個問題還滿有趣的，試著以小弟所學來探討一下。

首先，私以為輪子轉動時的動態方程式應為一非線性ODE：

J(dw/dt) + pw^2 + cw = r(t)

w為角速度、J為轉動慣量、p為空氣阻力係數、c為正比於角速度的其它阻力係數、
r(t)為輸入的扭力。


然後我不會解。（囧）

請原諒我First order ODE只會用三招解，其它可能就要跑模擬了XD


所以我簡化一下，把正比於角速度的那項給丟了，整合到c去變成C：

J(dw/dt) + Cw = r(t)

簡化為一階線性ODE，這就好解多了，有修過工數應該都會。


OK先來看簡單的，設輸入的函數為一定值r(t) = T，表示持續輸出一固定扭力：

J(dw/dt) + Cw = T

然後令初始條件：w(0) = 0，表示初始角速度為0，得w(t)的解：

w(t) = (T/C) * (1 - exp(-(C/J)t)

以上的式子可得出兩個結論：

1) 當時間t趨近於無窮大，exp()趨近於0，所以得到最終角速度w(t->無窮大）：

w(t->無窮大) = T/C

這代表的是，不管慣量J是多少，當騎了一段時間之後的角速度只跟輸入扭力T
與阻尼係數C有關，與J完全無關。

啊靠，那J到底是幹啥的？

2）雖然最終速度與J無關，但J會影響到w(t)的暫態響應，也就是上式中exp()裡的
那一堆東東。

簡單來說，C/J這個數值如果越大，輪子就越快到達最終值T/C，反之若
越小，輪子就得花更多的時間才會達到終值T/C。

所以，如果阻力相同，擁有較大慣量J的輪組就得花更長的時間來加速，相較之下
小慣量的輪組會比較快到達需要的速度。

當然，暫態的差異不會只影響到速度的提升，當輸入扭力從T變為0時，擁有大慣量
的輪子速度會降低的比較慢，小慣量的輪子會降低的較快。


而位移正比於w(t)的積分，所以可以看到當輸入扭力為定值時，大慣量的輪子積分就是
會少掉正在加速的那一段，所以輸入扭力相同時，大慣量的會輸。


歐，或許扭力為定值T太理想了，用sin(ft)來當輸入好了，來模擬不斷加減速的狀態：

J(dw/dt) + cw = sin(ft)

得w(t):

w(t) = (J^2 * f^2 + c^2)^-1 * sin(ft - arctan((J*f) / C)))

所以，輸出的角速度是一個與輸入扭力頻率相同，但振幅跟相位角不同的函數。

假設阻力相同，J如果越大則振幅越小而且相位角越大，表示輸出的最大速度會較小且會
有「跟不上輸入的力量」的感覺；相反的，若J越小則輸出的最大速度會較大，且會有速
度隨傳隨到的感覺，因為相位角較小。


所以，從這些方向來看，我是看不到大慣量所帶來的優勢。


But，人生最厲害就是這個But，人畢竟不是波形產生器，不可能只從工程或物理的方式來
分析，每個人都是獨特的，不是每個人都喜歡慣性小到爆的輪組，說不定當踩踏頻率、J
和風阻這三個參數有特殊的組合時，對你來說騎起來才是最爽的。

結論，不管高慣性或是低風阻，只要買的起又騎的爽，就是好輪組啦科科

BTW，或許有人會認為這是簡化後的結果，不過小弟認為這應該能夠解釋大部分的情況，
如果有任何建議歡迎指教:P

4/23 Update:（關於功率這邊不要看啊啊啊！我耍笨了！）

睡醒才想到，我這篇討論的是定扭力而不是定功率，所以再來討論一下定功率：

假設功率一樣為定值H，因為H = 扭力T * 角速度w，所以T = H / w：

J(dw/dt) + cw = H/w

一樣設初始角速度為0，得解：

w(t) = sqrt( (H/C) * (1 - exp(-((2*C) / J) * t))

所以在定功率的情況下，速度一樣是由功率與阻力決定，跟慣性沒有關係～

打這麼多只是想說，騎士只要輸出定功率，不會因為慣性小而影響到最後的速度，而是慢
慢的達到一定速狀態，這點前面很多大大都有提到，只是我從另一個方向切入～


另外，關於W大提到的輪車問題，由於小弟沒有輪過車所以不太清楚實際的情況，所以就
我所了解的方式來解釋：

輪車應該是由最前面的騎士擋風，讓後面的騎士享受到低風阻的優勢然後以「等速前進」
，而根據前面的論述，等速情況下不管騎什麼輪，輸出的功率都相同。

接著擋風的退下由第二位騎士接手，此時第二騎士的阻力改變，所以c為一時變函數。

J(dw/dt) + c(t)w = H/w

呃，我不會解（再囧）

不過沒關係，假設輪車時速度都不變，也就是w在換人時為定值，此時（dw/dt)為零：

c(t)w = H / w

-> H = c(t) * (w^2)

所以換手時需要輸出的功率只跟角速度和阻力有關，與慣性無關。

這是假設速度不變的結果，不過如果速度會改變，慣量小的騎士也能夠更快的達到所需的
速度，所以結果應該是相同的，也就是慣量小的騎士占有優勢。


至於剛剛換手下來休息的騎士，雖然速度會掉的比較快，但因為輪車的關係，速度必須跟
輪車小組達到相同的速度，這時候慣量小慣量大就沒差了，反正速度一定要一樣。


不過還是要回到之前的結論，每個人的習慣不同，如果只看功率那就請選手都上訓練台測
個兩小時功率，最大的冠軍就好啦科科


4/23 再次update：

的確忽略pw^2這項會讓人覺得考慮不周全，所以下午用scilab模擬了一下這個ODE，並比較
其與忽略此項參數的方程式之結果：

http://ppt.cc/lSCI

藍線為有pw^2項的結果，而黑線（上面那條）為無該項之結果。

參數設定為：
J = 100;
p = 20;
c = 10;
H = 250;

從這張圖可以看到，就算多了一項pw^2，輸出的曲線跟一般的一階線性ODE是差不多的，
一樣會有個終值，只是終值不相同，所以我認為用線性ODE來揣測其性質是OK的。



接下來，再看有pw^2項之方程式，帶入不同的參數所得到的解：

http://ppt.cc/3~sn

紅色線的參數設定：
J = 100（虛線）、200（實線）
p = 10
c = 10
H = 從0開始輸入250W，然後在10秒時放鬆，輸入0W

藍色線的參數設定：
J = 100（虛線）、200（實線）
p = 20
c = 同上
H = 同上

這邊都使用scilab的ode()函式作模擬。這是超級強大的免費軟體，MatLab的基礎功能他大
概都做的到。

先說在前面，這些數字跟真實世界中的可能不符，不過我只是想看趨勢，如果有人能夠給
我真正的數字就再麻煩了，不然就這樣吧XD

從這張圖可以看到，虛線跟實線的差別是慣量相差兩倍時的結果，而紅藍顏色是風阻p相差
兩倍時的結果。所以，可以看到降低一半的風阻，速度直接增加40%啊啊啊～～當然這個趴
數可能不適用於真實世界，但我覺得從降低風阻得到的效益會比慣性的大小來得重要就是
了。

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