請問公路車換刀輪適合嗎?? - 公路車

這個問題我想從三個角度去分析：

1）從靜止狀態輸入一固定扭力T，持續一段時間後完全放鬆直到完全靜止，結果到底是慣
量大的還是慣量小的滑比較遠？

2）在不斷的加減速之狀態下，那一個比較佔優勢？

3）跟風阻比起來，慣量的重要性？

# 4/25 Update：

A）輸入定扭力T的時間與放鬆時間之間的比例對輸出造成的影響？

# 4/26 Update：

B）輸入定功率與定扭力的差別？

# 4/27 Update：

C）平均功率相同的情況下，功率波動較大與波動較小的差別？

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首先我要先認錯，昨天用線性ODE去揣測非線性ODE性質的方式根本大錯特錯啊～

真正差不多的性質大概只有最終速度與慣性無關這件事，其它根本不同。請原諒
小弟這是第一次碰到非線性的方程式，所以就自以為是的亂來了囧。

還有輸入改為功率那邊的計算也是錯的，因為功率H = T * w的w跟輪子的角速度
w是兩回事，根本不是這樣算啊啊啊啊（跪）。不過就算這樣，穩態輸出相同這個結果還是
不會變啦，但暫態可能會不一樣。#4/26補充：當時的想法是騎士的踩踏與輪子的轉速沒關
係，但後來想到其實踏頻與轉速是成正比的，所以式子這樣寫應該沒錯。

所以，接下來的討論都用扭力來說明。

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OK回到正題，先再回來上一篇提到的非線性ODE：

J(dw/dt) + p * w^2 + c * w = r(t)

現在我們要比的是距離，所以把角速度w換回角度θ，變成二階：

J(d^2(θ)/dt^2) + p * (dθ/dt)^2 + c * (dθ/dt) = r(t)

因為距離正比於角度，所以就用θ的結果來說明。

接著給定初始條件：

θ(0) = 0 （初始角度為0）

θ'(0) = 0 （初始角速度為0）

其實好像可以解啦，不過答案會有我討厭的tanh()，所以直接用電腦算XD

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1）

大家都知道，慣量小的在一開始加速時會佔優勢，而慣量大的會在減速時略勝一
籌，所以一來一往最後到底誰贏，我想就是很多人的問題所在。

如果是先前提到的線性方程式，最後結果一定一樣（距離相同），這可以用數學
證明，然而非線性就沒有這麼簡單了。先來看模擬後的結果，如下圖所示：

http://i.imgur.com/T1nKmIi.png

左邊的是θ與時間t的關係圖，右邊的是角速度w與時間t的關係圖。先看紅色線
就好，藍色線待會再提。

以下為參數設置：

紅色線：
J = 10（虛線）、20（實線）
p = 10
c = 10
t = 0 ~ 10
t_s = 4 （在第4秒時停止輸入扭力T）
r(t） = T = 250

藍色線：
J = 10（虛線）、20（實線）
p = 20
c = 10
t = 0 ~ 10
t_s = 4 （在第4秒時停止輸入扭力T）
r(t） = T = 250

其實結果剛出來時也相當出乎我意料，因為最後的距離竟然是慣量大的會大於慣
量小的！這與線性方程的結果完全不同，也與多數人的預測不同，這就是非線性方程的威
力啊哈哈哈哈～

其實我也不知道該怎麼解釋這個結果，只能說平方項這種東西不是一般人所能想
像的，也希望有其它大大能解釋，如果有人覺得這個答案不對也歡迎指教，不過我覺得上
述的物理模型是正確的，scilab的模擬應該也不會錯才是。

不過哪有人這樣騎車的啦，所以我們來看第二種情況。


2）
這邊我一樣用弦波函數來模擬騎車時在固定扭力T上下漂移的情況：

r(t) = T + A * sin(f*t)

T=250，A=50，時間t=0~100，其他相同。下圖為模擬結果：

http://i.imgur.com/WDkxalS.png

一樣左邊為θ-t圖，右邊為w-t圖，然後黑線就是上面的r(t)函數（單位不同，
我只是想看關係啦）。下圖為θ-t圖與w-t圖的局部放大：

http://i.imgur.com/MgC7uLi.png

從這邊可以看到，實線（慣量大的）與虛線（慣量小的）幾乎重疊，表示慣量的
差距在此輸入狀態下影響相當小，真要比較的話慣量小的還小勝。

所以慣量在我看來並不是那麼重要（除非真的差異太大，我是一定不會騎10KG輪
組的啦），所以來探討第三點：


3）
跟上篇文章一樣，上兩圖中的藍色線代表的是風阻較大的情況，可以看到不管在
什麼情況下跟紅色線的差異都相當大，我想我不用再多說明了，低風阻就是讚，就是行啊
XDDD

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所以我的結論還是空氣阻力比慣量重要多了，然後這邊討論的是慣量，與重量的
關係不大，因為相同重量的輪組是可以有不同轉動慣量的，詳情請洽wiki或動力學老師。

當然你能夠argue這個model並不完美，因為我只考慮輪子的轉動，還有其他的因
素需要考量，像是操控性等，不過就小弟的知識僅能貢獻這些，其餘就有請其他大大了，
有任何問題還請多指教。

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# 4/25 Update:

昨天實在有點累加上今天要meeting，所以丟幾個簡單的例子就衝去睡啦。

WuDhar大的舉例子很有趣，所以來看看結果如何：

http://i.imgur.com/A6wVXxG.png


為了讓差異更容易被看出來，我改了一下系統參數：

紅線：
J = 200（虛線）、400（實線）
p = 2.0（風阻較高）
c = 2
t = 0 ~ 500

藍線：
J = 200（虛線）、400（實線）
p = 1.8（風阻較低）
c = 2
t = 0 ~ 500

然後上下兩圖的系統都相同，但輸入不同：

上圖為輸出80秒後休息20秒，下圖為輸出50秒後休息50秒，圖形為黑色線。


先看上面的圖，可以看到實線（慣量大的）稍微超過了虛線（慣量小的），所以
慣量大的確是稍佔優勢，但跟我之前的結論相同，慣量的差異遠遠不如風阻重要，這點可
以從藍線與紅線之間的差異看出來。

接著來看下圖，如果花了比較久的時間休息那慣量的優勢就會被放大，可以看到
虛線跟實線之間的差距加大了。然後另一個重點，藍色虛線（風阻小慣量小）被紅色實線
（風阻大慣量大）給追上啦！然而這是在慣量增加了100%然後風阻只減少10%的情況，一
般輪組再怎麼爛慣量應該都不會增加兩倍，所以這是在極端才會出現的情況。

所以在我看來，如WuDhar大所陳述的，如果休息時間比較久那慣量的優勢就會被放
大，這點是合理的。

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# 4/26 Update:

OK之前討論的輸入都是扭力，現在來看看輸入為功率的系統，也就是下列方程：

J(d^2(θ)/dt^2) + p * (dθ/dt)^2 + c * (dθ/dt) = h(t)*(dθ/dt)^-1

結果如下圖：

http://i.imgur.com/lC4OFlr.png

系統參數都相同，只差在初始角速度我設為1.6而非0，因為若設為0會發生除以0
的錯誤。而左側上下兩圖的黑線為輸入功率的圖，右側新增的紅線是瞬時扭力（H / w）。

圖中可以看到，結果與使用扭力為輸入時的趨勢相差無幾。

如果有人有興趣的話，這邊是我的scilab simulation code，可以載回去玩玩。

https://www.dropbox.com/s/q6ob8tdl21b0v8d/wheelOde.sci

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4/27 Update：

今天又突然想到，真正在騎車的時候應該不會像上面所說的那樣，除非真的想偷
懶。以小弟的認知，在平均功率相同的前提下，穩定與不穩定的差別應該是瞬時功率在平
均功率值上下波動的範圍大小，可以用下列函式代表：

H = H_avg + A * sin(ft)

H_avg是平均功率，而A就是波動的範圍大小，騎士功率穩定則A值較小，相反則
A值較大。

下圖為模擬結果：

http://i.imgur.com/ptQbl1z.png

上圖為波動範圍小的結果，下圖則是波動範圍大的結果。後段可能看不太清楚，
以下是後段的放大圖：

http://i.imgur.com/M7uGqqR.png

兩個輸入的H_avg同為500，上圖的A為50，下圖的A則為200。

可以看到，如果踩踏功率穩定則大慣量佔不到任何優勢，但就算是波動較大如下
圖，不同慣量所造成的位移之差距會減少，但依然是小慣量較佔優勢。不過跟之前的結論
相同，風阻的影響大多了。

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